1) Với x, y là các số thực dương thảo mãn \(\frac{x}{2} \frac{y}{3} \frac{xy}{6}=3\), chứng minh rằng \(27x^3 8y^3\ge432\) 2) Với a, b, c không âm thỏa mãn \(a^2 b^2 c^2=1\), chứng minh rằng \(a^3 2b...

1) Với x, y là các số thực dương thảo mãn \(\frac{x}{2}+\frac{y}{3}+\frac{xy}{6}=3\), chứng minh rằng \(27x^3+8y^3\ge432\)2) Với a, b, c không âm thỏa mãn \(a^2+b^2+c^2=1\), chứng minh rằng \(a^3+2b^3+3c^3\ge\frac{6}{7}\)3) Cho x, y, z là các số thực dương có tổng bằng 1, chứng minh...

0

LT

Lê Thanh Quang

10 tháng 6 2020

1) Với x, y, z là các số thực thỏa mãn xy + yz + zx = 13, chứng minh rằng \(21x^2+21y^2+z^2\ge78\)2) Cho các số thực x, y, z khác 0 thỏa mãn x + y + z = 3xyz, chứng minh rằng\(\frac{3}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{3}{z^2}\ge6\)3) Với a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 3, tìm giá trị nhỏ nhất của P = a3 + 64b3 +...

0

LT

Lê Thanh Quang

10 tháng 6 2020

2

NL

Nguyễn Linh Chi

10 tháng 6 2020

1) \(21x^2+21y^2+z^2\)

\(=18\left(x^2+y^2\right)+z^2+3\left(x^2+y^2\right)\)

\(\ge9\left(x+y\right)^2+z^2+3.2xy\)

\(\ge2.3\left(x+y\right).z+6xy\)

\(=6\left(xy+yz+zx\right)=6.13=78\)

Dấu "=" xảy ra <=> x = y ; 3(x+y) = z; xy + yz + zx= 13 <=> x = y = 1; z= 6

NL

Nguyễn Linh Chi

10 tháng 6 2020

2) \(x+y+z=3xyz\)

<=> \(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}=3\)

Đặt: \(\frac{1}{x}=a;\frac{1}{y}=b;\frac{1}{z}=c\)=> ab + bc + ca = 3

Ta cần chứng minh: \(3a^2+b^2+3c^2\ge6\)

Ta có: \(3a^2+b^2+3c^2=\left(a^2+c^2\right)+2\left(a^2+c^2\right)+b^2\)

\(\ge2ac+\left(a+c\right)^2+b^2\ge2ac+2\left(a+c\right).b=2\left(ac+ab+bc\right)=6\)

Vậy: \(\frac{3}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{3}{z^2}\ge6\)

Dấu "=" xảy ra <=> a = c = \(\sqrt{\frac{3}{5}}\); \(b=2\sqrt{\frac{3}{5}}\)

khi đó: \(x=z=\sqrt{\frac{5}{3}};y=\sqrt{\frac{5}{3}}\)

Bài 1: Với x, y, z là các số thực không âm thỏa mãn xy + yz + xz > 0, chứng minh rằng: \(2\sqrt{\frac{x}{y+z}}+2\sqrt{\frac{y}{z+x}}+3\sqrt[3]{\frac{z}{x+y}}\ge5\)Bài 2: Với x, y, z là các số thực không âm thỏa mãn xy + yz + xz > 0, z = max {x, y, z), chứng minh rằng: \(\sqrt{\frac{x}{y+z}}+2\sqrt{\frac{y}{z+x}}+3\sqrt[3]{\frac{z}{x+y}}\ge4\)Bài 3:Với x, y, z là các số thực không âm thỏa mãn xy + yz + xz > 0 và x + y + z = 2,chứng...

LT

Lê Trường Lân

15 tháng 5 2020

1

LT

Lê Trường Lân

15 tháng 5 2020

Bài 3 thì \(\le1\)

Bài 4 thì \(\ge\frac{3}{4}\) nhé

Bài 1:Với a, b, c là các số thực dương, chứng minh rằng: \(\frac{1}{a\sqrt{3a+2b}}+\frac{1}{b\sqrt{3b+2c}}+\frac{1}{c\sqrt{3c+2a}}\ge\frac{3}{\sqrt{5abc}}\)Bài 2:Với x, y là các số thực dương, tìm giá trị nhỏ nhất của \(G=\sqrt{\frac{x^3}{x^3+8y^3}}+\sqrt{\frac{4y^3}{y^3+\left(x+y\right)^3}}\)Bài 3:Với a, b, c là các số thực dương, chứng minh...

LT

Lê Trường Lân

15 tháng 5 2020

2

TL

Tran Le Khanh Linh

16 tháng 5 2020

Bài 1: diendantoanhoc.net

Đặt \(a=\frac{1}{x};b=\frac{1}{y};c=\frac{1}{z}\) BĐT cần chứng minh trở thành

\(\frac{x}{\sqrt{3zx+2yz}}+\frac{x}{\sqrt{3xy+2xz}}+\frac{x}{\sqrt{3yz+2xy}}\ge\frac{3}{\sqrt{5}}\)

\(\Leftrightarrow\frac{x}{\sqrt{5z}\cdot\sqrt{3x+2y}}+\frac{y}{\sqrt{5x}\cdot\sqrt{3y+2z}}+\frac{z}{\sqrt{5y}\cdot\sqrt{3z+2x}}\ge\frac{3}{5}\)

Theo BĐT AM-GM và Cauchy-Schwarz ta có:

\( {\displaystyle \displaystyle \sum }\)\(_{cyc}\frac{x}{\sqrt{5z}\cdot\sqrt{3x+2y}}\ge2\)\( {\displaystyle \displaystyle \sum }\)\(\frac{x}{3x+2y+5z}\ge\frac{2\left(x+y+z\right)^2}{x\left(3x+2y+5z\right)+y\left(5x+3y+2z\right)+z\left(2x+5y+3z\right)}\)

\(=\frac{2\left(x+y+z\right)^2}{3\left(x^2+y^2+z^2\right)+7\left(xy+yz+zx\right)}\)

\(=\frac{2\left(x+y+z\right)^2}{3\left(x^2+y^2+z^2\right)+\frac{1}{3}\left(xy+yz+zx\right)+\frac{20}{3}\left(xy+yz+zx\right)}\)

\(\ge\frac{2\left(x+y+z\right)^2}{3\left(x^2+y^2+z^2\right)+\frac{1}{3}\left(x^2+y^2+z^2\right)+\frac{20}{3}\left(xy+yz+zx\right)}\)

\(=\frac{2\left(x^2+y^2+z^2\right)}{5\left[x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+zx\right)\right]}=\frac{3}{5}\)

TL

Tran Le Khanh Linh

16 tháng 5 2020

Bổ sung bài 1:

BĐT được chứng minh

Đẳng thức xảy ra <=> a=b=c

Bài 1: Cho a,b dương và \(2a+3b=ab\) Chứng minh rằng \(a+b\ge5+2\sqrt{6}\)Bài 2: Cho a,b dương và \(a+b=ab\) Tìm giá trị lớn nhất của\(S=\frac{1}{a}+\frac{2}{a+b}\)Bài 3: Cho a,b là các số dương. Tìm giá trị bé nhất của\(S=\frac{a^2+b^2}{b^2+2ab}+\frac{b^2}{a^2+2b^2}\)Bài 4: Cho ba số dương a,b,c thỏa mãn \(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}=9\)Chứng minh rằng\(\frac{1}{2a+b}+\frac{1}{2b+c}+\frac{1}{2c+a}\le\sqrt{3}\)Bài 5: Cho ba số...

NH

Nguyễn Hữu Khôi

30 tháng 8 2021

2

NH

Nguyễn Hữu Khôi

30 tháng 8 2021

B3 mk tìm đc cách giải r nhưng bạn nào muốn thì trả lời cg đc

NH

Nguyễn Hữu Khôi

31 tháng 8 2021

Các bạn giải giúp mình B2 và B5 nhé. Mấy bài kia mình giải được rồi.

HD

Huy Đào Quang

23 tháng 9 2017

Giải hộ mình mấy bài này với:

1)cho số thực dương a,b,c thỏa mãn a+b+c=1. Chứng minh rằng :

\(\sqrt{\frac{ab}{c+ab}}+\sqrt{\frac{bc}{a+bc}}+\sqrt{\frac{ca}{b+ca}}\le\frac{3}{2}\)

2)Cho 3 số x,y,z khác không thỏa mãn:\(\hept{\begin{cases}x+y+z=2010\\\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=2010\end{cases}}\)

Chứng minh rằng trong 3 số x,y,z luôn tồn tại 2 số đối nhau.

0

VD

Vu Dang Toan

10 tháng 3 2017

Cho a,b,c là các số dương không âm thỏa mãn : \(a^2+b^2+c^2\) = 3

Chứng minh rằng : \(\frac{a}{a^2+2b+3}+\frac{b}{b^2+2c+3}+\frac{c}{c^2+2a+3}\le\frac{1}{2}\)

1

ZP

zZz Phan Cả Phát zZz

10 tháng 3 2017

Mình sẽ giải theo pp tập thể dục nha :

Theo bài ra , ta có :

\(a^2+b^2+c^2=3\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2-3=0\)

\(\Leftrightarrow a^2-1+b^2-1+c^2-1=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)\left(a+1\right)+\left(b-1\right)\left(b+1\right)+\left(c-1\right)\left(c+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(a-1\right)\left(a+1\right)=0\\\left(b-1\right)\left(b+1\right)=0\\\left(c-1\right)\left(c+1\right)=0\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\orbr{\begin{cases}a=1\\a=-1\end{cases}}\\\orbr{\begin{cases}b=1\\b=-1\end{cases}}\\\orbr{\begin{cases}c=1\\c=-1\end{cases}}\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\orbr{\begin{cases}a=1\\a=-1\end{cases}}\\\orbr{\begin{cases}b=1\\b=-1\end{cases}}\\\orbr{\begin{cases}c=1\\\end{cases}}\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=1;a=-1\\b=1;b=-1\\c=1;c=-1\end{cases}}\)

mà a,b,c là ba số không âm

=) a = b = c =1

Thay a = b = c = 1 vào biểu thức ở đầu bài , ta được

\(\frac{a}{a^2+2b+3}+\frac{b}{b^2+2c+3}+\frac{c}{c^2+2a+3}\)

\(=\frac{1}{1+2+3}+\frac{1}{1+2+3}+\frac{1}{1+2+3}\)

\(=\frac{1}{6}\times3=\frac{1}{2}\)

Cái phần bé hơn hình như là có cái j đó sai sai vì gt đầu bài là ba số ko âm mà nên làm sao mà bé hơn được

Bài 1: Cho a>0;b>0;c>0 thỏa mãn abc=1. Chứng minh rằng:a)\(a^3+b^3+c^3\ge a+b+c\)b) \(a^3+b^3+c^3\ge a^2+b^2+c^2\)Bài 2: Với mọi a,b,c là các số thực. Chứng minh rằng:\(\sqrt{a^2-ab+b^2}+\sqrt{b^2-bc+c^2}+\sqrt{c^2-ca+a^2}\ge a +b+c\)Bài 3: Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn \(x+y+z\le1\)Chứng minh...

DM

Đàm Minh Quang

26 tháng 2 2017

Câu hỏi hay

1

KR

kagamine rin len

28 tháng 2 2017

2a)với a,b,c là các số thực ta có

\(a^2-ab+b^2=\frac{1}{4}\left(a+b\right)^2+\frac{3}{4}\left(a-b\right)^2\ge\frac{1}{4}\left(a+b\right)^2\)

\(\Rightarrow\sqrt{a^2-ab+b^2}\ge\sqrt{\frac{1}{4}\left(a+b\right)^2}=\frac{1}{2}\left|a+b\right|\)

tương tự \(\sqrt{b^2-bc+c^2}\ge\frac{1}{2}\left|b+c\right|\)

tương tự \(\sqrt{c^2-ca+a^2}\ge\frac{1}{2}\left|a+c\right|\)

cộng từng vế mỗi BĐT ta được \(\sqrt{a^2-ab+b^2}+\sqrt{b^2-bc+c^2}+\sqrt{c^2-ca+a^2}\ge\frac{2\left(a+b+c\right)}{2}=a+b+c\)

dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=b=c

YY

Yim Yim

21 tháng 5 2018

Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn \(a^2+b^2+c^2=3\)

Chứng minh rằng \(\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{zx}{y}\ge3\)

1

PN

Phan Nghĩa

20 tháng 7 2020

đây là đề Prance Pre - Mo 2005

mình dùng pp đổi biến nhé bạn @@

Đặt \(a=\frac{xy}{z};b=\frac{yz}{x};c=\frac{xz}{y}\) (a,b,c >0)

Nên bài toán trở thành : \(ab+bc+ca=3\),CMR : \(a+b+c\ge3\)

Ta có bất đẳng thức sau :

\(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca< =>a+b+c\ge\sqrt{3\left(ab+bc+ca\right)}=3\)

Vậy bất đẳng thức được chứng minh hoàn tất

Dấu = xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=z=1\)